Optimization Toolbox

Nichtlineare Optimierung

Die Optimization Toolbox verfügt über häufig verwendete Optimierungsalgorithmen zur Lösung von nichtlinearen Programmierungsproblemen in MATLAB. Die Toolbox bietet dazu Solver für nichtlineare Optimierungen mit und ohne Nebenbedingungen sowie Solver für kleinste Quadrate-Optimierungen.

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Die Optimization Toolbox enthält drei Methoden zur Lösung nichtlinearer Minimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen:

  • Der Quasi-Newton-Algorithmus nutzt ein gemischtes quadratisches und kubisches Liniensuchverfahren sowie die Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno -Formel (BFGS ) zur Aktualisierung der Näherung der Hesse-Matrix.
  • Der Nelder-Mead-Algorithmus (auch als Downhill-Simplex bezeichnet) ist eine direkte Suchmethode, die nur Funktionswerte verwendet (also keine Ableitungen berechnet) und für diskrete Zielfunktionen eingesetzt wird. Die Global Optimization Toolbox enthält weitere ableitungsfreie Optimierungsalgorithmen für die nichtlineare Optimierung.
  • Die Vertrauensbereich-Methode wird für unbeschränkte nicht-lineare Probleme verwendet und ist besonders bei komplexen Problemen nützlich, bei denen die Seltenheit oder Struktur ausgenutzt werden kann.
Ermittlung der optimalen Effizienz in einem Motorkennfeld durch nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen.
Ermittlung der optimalen Effizienz in einem Motorkennfeld durch nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen.

Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen bestehen aus linearen oder nichtlinearen Zielfunktionen und können linearen oder ebenfalls nichtlinearen Nebenbedingungen unterliegen. Die Optimization Toolbox bietet vier Verfahren zur Lösung dieser Probleme:

  • Der Interior-Point-Algorithmus wird für allgemeine nicht-lineare Optimierungen verwendet. und eignet sich besonders für umfangreiche und komplexe Probleme. Basierend auf einer Barrierefunktion kann so gesteuert werden, dass alle Iterationswerte im Optimierungsverlauf streng in den zulässigen Grenzen bleiben.
  • Der SQP-Algorithmus wird für allgemeine nichtlineare Optimierungen verwendet. Er hält bei allen Iterationen immer die Grenzen ein und toleriert Berechnungsfehler anwenderdefinierter Ziel- und Beschränkungsfunktionen.
  • Die Active-Set-Methode wird für allgemeine nichtlineare Optimierungen verwendet.
  • Der Trust-Region-Reflective-Algorithmus kann nur für Probleme mit oberen und unteren Schranken oder für lineare Gleichungen als Nebenbedingungen verwendet werden. Er eignet sich besonders für Probleme mit sehr vielen Variablen.

Mit den Interior Point- und Trust-Region-Reflective-Algorithmen lassen sich Hesse-Matrizen mithilfe unterschiedlicher Verfahren berechnen.

Der Interior-Point-Algorithmus ermöglicht die näherungsweise Berechnung von Hesse-Matrizen durch die folgenden Verfahren:

  • BFGS (dicht besetzt)
  • Speicherreduziertes BFGS (für umfangreiche Probleme)
  • Hesse-Multiplikationsfunktion
  • Explizite Hesse-Matrix (dünn oder dicht besetzt)
  • Endliche Gradienten-Differenz (Besetzungsstruktur muss hier nicht bekannt sein)

Der Trust-Region-Reflective-Algorithmus verfügt über die Optionen:

  • Endliche Gradienten-Differenzen, Seltenheitsstruktur der Hessematrix
  • Explizite Hesse-Matrix (dünn oder dicht besetzt)
  • Hesse-Multiplikationsfunktion

Mit den Interior-Point - und Trust-Region -Verfahren lassen sich außerdem Produkte aus Hesse-Matrizen und Vektoren von Funktionen berechnen, ohne dass die Hesse-Matrix explizit formuliert werden muss.

Optimierung einer Fahrwerksaufhängung durch nichtlineare Optimierung mit Nebenbedingungen.
Optimierung einer Fahrwerksaufhängung durch nichtlineare Optimierung mit Nebenbedingungen.
Weiter: Lineares und quadratisches Programmieren

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