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Experimente mit MATLAB

Von Cleve Moler, MathWorks

Experiments with MATLAB ist ein kostenloses Online-Buch für Lehrer und Schüler höherer Klassenstufen, die über den Schulstoff hinaus gehende Materialien suchen. Die vorgestellten Übungen und Materialien sind aber auch für Studienanfänger sicher eine Bereicherung.

MATLAB ist heute eine umfassend ausgestattete Sprache für technische Berechnungen. In den späten 70ern hat es jedoch als ziemlich einfaches „Matrix Laboratory“ begonnen. Experiments with MATLAB knüpft an diese Labor-Tradition des Tüftelns an und stellt Experimente in angewandter Mathematik sowie mit technischen Berechnungen vor. Kurze Code-Abschnitte und kleine Programme, von denen viele interaktive Grafiken enthalten, geben dem Leser eine kleine Einführung in die Programmierung mit MATLAB.

Um die im Buch gezeigten Experimente vollständig durchführenzu können, sollte man in etwa über Oberstufen-Kenntnisse in Geometrie, Algebra und Trigonometrie verfügen. Daneben beschäftigt sich Experiments with MATLAB mit Themen, für die man ein wenig über Analysis, Matrizen und Differentialgleichungen wissen sollte – es setzt aber keine abgeschlossenen Kurse in diesen Fächern voraus.

In diesem Cleve’s Corner stelle ich einige bearbeitete Auszüge aus Experiments with MATLAB vor, die Ihnen eine Vorstellung vom Niveau und Tonfall des Buches vermitteln sollen. Ich möchte Sie ermutigen, die Experimente nicht nur durchzulesen, sondern sie zu verändern und zu verbessern.

Iterationen

Im ersten Kapitel werden Sie aufgefordert, sich eine Zahl auszusuchen – irgendeine Zahl – und diese in in MATLAB einzugeben:

x = Ihre Zahl

Geben Sie nun die Anweisung

x = sqrt(1+x)

ein und führen sie mithilfe der Pfeil-nach-oben- und Enter-Taste immer wieder aus, bis sich die angezeigte Zahl nicht mehr verändert.

Hier die ersten und letzten Zeilen für einen Anfangswert von x = 3:

   3.000000000000000
   2.000000000000000
   1.732050807568877
   1.652891650281070
   1.628769980777233
       . . .
   1.618033988749915
   1.618033988749901
   1.618033988749897
   1.618033988749895
   1.618033988749895
  

Ganz gleich, mit welchem Wert man beginnt: Die Reihe konvergiert immer zum selben Endwert von 1.6180339… . Erkennen Sie diese Zahl?

Dieses Experiment regt außerdem dazu an, über die beiden Bedeutungen des Gleichheitszeichens nachzudenken: Als Zuweisungs­operator in Programmiersprachen und als Symbol für Gleichheit in Gleichungen.

Wie würden Sie folgende Gleichung lösen?

 x = √1 + x

Finger weg vom Computer! Lösen Sie diese im Kopf oder schriftlich. Quadrieren Sie beide Seiten, bringen Sie alles auf eine Seite des Gleichheitszeichens. Sie erhalten die quadratische Gleichung:

 x2 - x – 1 = 0

Mithilfe der quadratischen Ergänzung finden Sie deren positive Wurzel:

 φ = (1 + √5)/2 = 1.6180339 …

Die Lösung ist wieder unser alter Freund, der Goldene Schnitt.

Kalender und Uhren

Viele Menschen halten Freitag den 13. für einen Unglückstag – aber wie oft kommt er eigentlich vor? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 13. Tag eines Monats auf einen Freitag fällt? Die spontane Antwort ist 1/7, doch das stimmt nicht ganz. Durch die Schaltregeln des Gregorianischen Kalenders wiederholen sich nämlich exakt alle 400 Jahre oder 4800 Monate die gleichen Wochenabläufe.

Ein einfaches Experiment mit den datenum- und weekday-Funktionen aus MATLAB kann abzählen, wie oft der 13. Tag eines Monats auf einen Freitag fällt (Abb. 1). Dabei zeigt sich, dass der 13. mit höherer Wahrscheinlichkeit auf einen Freitag fällt als auf irgendeinen anderen Wochentag. Die Wahrscheinlichkeit ist 688/4800 = 0,143333 und damit etwas größer als 1/7 = 0,142857.

cc_experiments_fig1_w.gif

Abb. 1. Dieses MATLAB-Diagramm zeigt, dass der 13. Tag eines Monats mit größerer Wahrscheinlichkeit ein Freitag ist als ein anderer Wochentag. Zum Vergrößern auf das Bild klicken.

Die Exponentialfunktion

Viele Schüler, die gerade einen Anfängerkurs in Analysis absolviert haben, denken leider, dass die Ableitung von ex gleich xex-1 ist. Wie kann man also die Zahl e und die Funktion ex besser verstehen? MATLAB kann Potenzen berechnen, etwa y = ax für einen Skalar a und einen Vektor x.

 
 a = 2
 x = 0:0.01:2
 y = a.^x

Man kann damit außerdem ohne jede formale Regel oder Differenzierung ungefähre Steigungen und damit genäherte Ableitungen berechnen, etwa mit:

 h = 0.0001
 yp = (a.^(x+h) – a.^x)/h

Die Anweisung
plot(x,[y; yp])

erzeugt das erste in Abbildung 2 gezeigte Diagramm. Die blaue Kurve ist der Graph von 2x. Die grüne Kurve ist die genäherte Ableitung. Der Graph der genäherten Ableitung hat die gleiche Form wie der Graph der Ursprungsfunktion, liegt aber darunter. Tatsächlich ist das Verhältnis yp./y eine von x unabhängige Konstante.

cc_experiments_fig2_w.gif

Abb. 2. Durch Gegenüberstellung der Funktion y = ax und deren genäherter Ableitung kann man bei sukzessiver Variation der Basis die Euler-Zahl e entdecken. Zum Vergrößern auf das Bild klicken.

Mit dem M-File expqui kann man nun die blaue Linie mit der Maus verschieben und so die Basis von ax variieren. Das zweite Diagramm zeigt den Graphen für 3x und seine genäherte Ableitung. Die grüne Kurve liegt nun oberhalb der blauen. Auf dem Weg von a = 2 nach a = 3a durchläuft man die im dritten Diagramm gezeigte Situation, in der die grüne und blaue Kurve deckungsgleich sind. Der hierbei für a angezeigte Wert ist gleich e und die Funktion ist ex, eine der wichtigsten mathematischen Funktionen.

Eine wichtige aber doch subtile mathematische und rechentechnische Frage haben wir hier ausgeklammert: Wie berechnet MATLAB eigentlich ax, ohne e zu kennen? Nun, ehrlich gesagt kann MATLAB das nicht. Die gesamte Argumentation ist also ein Zirkelschluss. Falls aber jemand genau danach fragt, ist das ein wundervoller Anlass für eine Diskussion.

Lösung des verzwickten T-Puzzles

Das in Abbildung 3 gezeigte Puzzle habe ich zum ersten Mal in der Puzzling World in Wanaka, Neu Seeland, gesehen. Es ist das beliebteste Puzzle im angeschlossenen Shop. Bereits seit dem 19. Jahrhundert ist es als Spielzeug verbreitet und seit etwa hundert Jahren ein typischer Werbeartikel.

cc_experiments_fig3_w.gif

Abb. 3. Dieses Holzpuzzle wird per Hand gelöst. Bild mit freundlicher Genehmigung von Shop New Zealand, www.shopnewzealand.co.nz.

Abbildung 4 zeigt die elektronische MATLAB-Version der vier Teile. Sie haben alle die gleiche Breite, aber unterschiedliche Höhen. Aus einem ist ein etwas seltsames Stück herausgeschnitten, wodurch ein unregelmäßiges Fünfeck entsteht. Mit MATLAB und dem GUI des T-Puzzle M-Files aus dem Beispiel im Buch kann man die Teile mit der Maus verschieben. Die vier Teile lassen sich zu einem großen „T“ zusammensetzen, wie es in Abbildung 5 gezeigt ist. Was ist dabei aber mit den ganzen 45°-Winkeln passiert – und was mit dem merkwürdigen Ausschnitt?

cc_experiments_fig4_w.gif

Abb. 4. Dieses elektronische Puzzle wird mit komplexer Arithmetik manipuliert.

cc_experiments_fig5_w.gif

Abb. 5. Setzen Sie dieses T zusammen.

Unser Programm zur Manipulation des T-Puzzles arbeitet mit komplexer Arithmetik. Die Koordinaten des größten Puzzleteils etwa werden durch den komplexen Vektor

 z = [0 1 1+2i 3i]

wiedergegeben, in dem die horizontalen und vertikalen Dimensionen durch reelle bzw. imaginäre Komponenten wiedergegeben werden.

Die Übersetzung der Reaktion des Puzzleteils auf Mausbewegungen wird auf einfache Weise durch Vektorsubtraktion bewerkstelligt:

 z = z - w

Mit der folgenden Anweisung wird das Teil beispielsweise um den Winkel θ um sein Zentrum gedreht:

 mu = mean(z)
 omega = exp(i*theta)
 z = omega*(z – mu) + mu

Wo sonst lernt man, dass die komplexe Multiplikation mit eiθ einer Drehung entspricht?

Das Game of Life

John Horton Conways Game of Life wurde im Oktober 1970 auf dem Titelblatt des Magazins Scientific American vorgestellt und hat seitdem eine kleine aber treue Anhängergemeinde. Es ist ein Beispiel für die Komplexität, die man mit scheinbar einfachen zellulären Automaten erzeugen kann.

In „Life“ ist das Universum ein unendliches zweidimensionales rechteckiges Gitter. Seine Bevölkerung besteht aus als lebendig markierten Gitterzellen. Diese Bevölkerung entwickelt sich in diskreten, als Generationen bezeichneten Zeitschritten weiter. Das Schicksal jeder einzelnen Zelle wird bei jedem Schritt durch die Vitalität ihrer acht nächsten Nachbarn eindeutig bestimmt. Die Regel dazu lautet: Eine lebendige Zelle mit zwei lebendigen Nachbarn oder aber jede beliebige Zelle mit drei lebendigen Nachbarn ist im nächsten Schritt lebendig.

Diese trügerisch einfache Regel erzeugt eine unglaubliche Vielfalt an Mustern, Rätseln und ungelösten mathematischen Problemen.

Das in Experiments with MATLAB vorgestellte MATLAB-Programm Game of Life ist ein sehr schönes Beispiel für die Verwendung dünnbesetzter Matrizen-Strukturen. Sein Universum ist nämlich eine dünnbesetzte Matrix X mit einer endlichen Zahl von Einsen, die die lebendigen Zellen markieren. Die Größe dieser Matrix passt sich durch Erweiterung jedem beliebigen Bevölkerungswachstum an.

Die Anweisungen

 n = size(X,1);
 p = [n 1:n-1];
 q = [2:n 1];
 Y = X(:,p)+X(:,q)+X(p,:)+X(q,:)+...
 X(p,p)+X(q,q)+X(p,q)+X(q,p);

erzeugen eine zweite dünnbesetzte Matrix Y mit Elementen der Werte 0 bis 8, die die lebendigen Nachbarn zählen. Die Grundregel des Spiels des Lebens lässt sich nun in Form einer einzigen weiteren MATLAB-Anweisung festhalten:

 X = (X & (Y == 2)) | (Y == 3);

Da jede beliebige Population dieser Regel gehorcht, wird der Ausgang des Spiels eindeutig durch die Gestalt seiner Anfangspopulation bestimmt. In Bill Gospers als Gleiterkanone bekannter Anfangspopulation (Abb. 6) oszilliert der Zentralteil der Kanone und stößt einen unendlichen Strom von Gleitern aus, die das Sichtfeld verlassen und sich im leeren Raum verlieren. Gospers Konfiguration war die erste, die eine unbegrenzte Population erzeugen konnte.

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Abb. 6. Bill Gospers Gleiter-Kanone. Zum Vergrößern auf das Bild klicken.

Weitere Experimente

Sich die Übungen in Experiments with MATLAB nur durchzulesen macht nicht halb so viel Spaß – und ist nicht halb so lehrreich – wie sie selbst durchzuspielen. Wenn Sie das Gezeigte also interessant finden, oder wenn Sie Schüler oder Studenten kennen, die daran interessiert sein könnten, werfen Sie einen Blick auf Experiments with MATLAB. Und dann machen Sie die Experimente selber, diskutieren Sie darüber oder verbessern Sie diese. Programme, und besonders MATLAB-Programme, sind Vehikel zur Kommunikation mit anderen Menschen und nicht nur dazu da, um Befehle an eine Maschine zu übermitteln.

Inhalt

  • Iterationen
  • Fibonacci-Zahlen
  • Kalender und Uhren
  • T-Puzzle
  • Matrizen
  • Fraktal-Farn
  • Magische Quadrate
  • Magie mit TicTacToe
  • Spiel des Lebens
  • Mandelbrot-Menge
  • Lineare Gleichungen
  • Google PageRank™
  • Gewöhnliche Differentialgleichungen
  • Exponential-Funktion
  • Räuber und Beute
  • Flachwasser-Gleichungen

Veröffentlicht 2008 - 91610v00

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